Deux exposés systématiques de la géométrie écrits à vingt-deux siècles d'intervalle, ont marqué l'histoire des mathématiques : celui d'Euclide puis celui de Hilbert. Paradoxalement, le deuxième, qui a d'une certaine manière clos définitivement la question, est moins connu que le premier.
Le présent ouvrage vise trois buts :
Donner un exposé mathématique du début du travail de Hilbert, en allant jusqu'au point où le lecteur pourra voir la bifurcation entre géométrie euclidienne et non euclidienne.
Fournir un éclairage historique et épistémologique sur le cadre du travail de Hilbert, ses buts, son inscription dans l'histoire des mathématiques.
Utiliser l'axiomatique de Hilbert comme un outil d'analyse et de compréhension de l'enseignement traditionnel de la géométrie au collège et au lycée, et des liens que ce dernier garde avec l'esprit euclidien, en particulier dans la lecture systématique sur la figure de certaines propriétés indispensables aux démonstrations.
D'une certaine manière, c'est ce dernier but qui donne son unité au texte : il ne s'agit pas de proposer aux enseignants une nouvelle manière d'enseigner la géométrie, mais de leur donner l'occasion d'un regard neuf sur le contenu de leur enseignement au moment, où après l'abandon d'un exposé de la géométrie fondé sur l'introduction algébrique de la géométrie affine, on revient à un exposé basé sur les notions "naturelles" de droite, point, angle...
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