Dans ce livre on essaye de déterminer les points extrémaux du cône des fonctions de type positif définies sur l'espace des matrices hermitiennes infinies qui sont invariantes par le groupe unitaire infinie et on donnera une expression explicite de ses fonctions à l'aide des fonctions de Polya. Dans la deuxième partie de ce travail, on donnera une représentation intégrale des fonctions de type négatif c'est la formule de Lévy-Khinchin. Dans cette représentation intégrale on exprimera une fonction de type négatif définie sur l'espace des matrices hermitiennes et de Hilbert-Schmidt à l'aide d'une mesure de Lévy.
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