Ce travail est consacré à l'étude des problèmes elliptiques du second ordre dans un ouvert borné ayant un bord régulier. Après un rappel de certains résultats fondamentaux sur les espaces de Sobolev, nous étudions dans le cadre de ces espaces les problèmes de Dirichlet et de Neumann. L'existence et l'unicité de la solution seront établis pour ces deux problèmes. Ces résultats sont obtenus grâce à la méthode des estimations à priori, une méthode fort usitée dans l'étude de beaucoup de problèmes liés aux équations aux dérivées partielles. Ensuite, nous établissons ces mêmes résultats dans le cas général. Enfin nous donnons une généralisation du principe du maximum : une sous-solution d'une équation elliptique sur un ouvert ne peut atteindre son maximum sur ce même ouvert. Cet ouvrage s'adresse principalement aux étudiants en fin d'études en sciences mathématiques, en sciences physiques et dans les écoles polytechniques.
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